function CalcAnos(const Data1, Data2: TDateTime): integer;
var
  D1, M1, A1,
  D2, M2, A2: Word;
begin
  DecodeDate(Data1, A1, M1, D1);
  DecodeDate(Data2, A2, M2, D2);

  Result := A2 - A1;

  if (M1 > M2) or ((M1 = M2) and (D1 > D2)) then
    Dec(Result);
end;

• Coloque um Edit (TEdit) para digitar a data de nascimento.
• Coloque um botão (TButton).
• Coloque o código a seguir no evento OnClick do botão:

var
  DataNasc: TDateTime;
begin
  DataNasc := StrToDate(Edit1.Text);
  ShowMessage(IntToStr(CalcAnos(DataNasc, Date)) + ' anos');
end;