Veja a seguir algumas formas de obter o nome do método corrente em Java.

Obtendo o nome do método corrente usando uma classe local

public class MyClass {
  public void myMethod() {
    class Local {};
    String methodName = Local.class.getEnclosingMethod().getName();
    System.out.println(methodName);
  }
}

Obtendo o nome do método corrente usando StackTrace

public class MyClass {
  public void myMethod() {
    String methodName = Thread.currentThread().getStackTrace()[1].getMethodName();
    System.out.println(methodName);
  }
}

Criando um método para obter o nome do método corrente

public class MyClass {

  public static String getMethodName() {
    return Thread.currentThread().getStackTrace()[2].getMethodName();
  }

  public void myMethod() {
    System.out.println(getMethodName());
  }
}